Символический CTQ-анализ
В рамках настоящего проекта разрабатывается оригинальный подход к символическому анализу дискретных динамических систем заданных отображениями вида: \begin{aligned} \mathbf{s}_{k+1}=\mathbf{f}\left(\mathbf{s}_{k},\,\mathbf{p}\right), \end{aligned} со свойствами: \begin{aligned} \mathbf{s}\in\mathrm{S}\subset\mathbb{R}^N,\quad \mathbf{p}\in\mathrm{P}\subset\mathbb{R}^L,\quad k\in\mathrm{K}\subseteq\mathbb{Z},\, n=\overline{1,\,N},\, l=\overline{1,\,L}, \end{aligned} где \(\mathbf{s}\) – переменная состояния динамической системы, \(\mathbf{p}\) – вектор параметров модели, \(N\) – размерность пространства состояний системы, \(L\) – размерность пространства параметров модели.
C исходным дискретным отображением связывается также последовательность \(\{\mathbf{s}_{k}\}^\infty_{k=-\infty}\) – траектория эволюции динамической системы. Здесь необходимо отметить, что дискретные динамические системы в форме отображения являются таким классом объектов, изучение свойств которых важно как с фундаментальной точки зрения, так и с прикладных позиций.
Символический CTQ-анализ направлен на детальное изучение формы (структуры геометрии) траекторий \(\{\mathbf{s}_{k}\}^\infty_{k=-\infty}\) в пространстве \(\mathrm{S}\times\mathrm{K}\). Анализ возможен и для конечных полутраекторий \(\{\mathbf{s}_k\}^{K <\infty}_{k = 1}\).
Последовательность \(\{\mathbf{s}_{k}\}^\infty_{k=-\infty}\) кодируется в терминах \(T^{\alpha\varphi}|_n\) алфавита, через соответствие: \begin{aligned} \left\lbrace\mathbf{s}^{(n)}_{k-1},\,\mathbf{s}^{(n)}_{k},\,\mathbf{s}^{(n)}_{k+1}\right\rbrace \Rightarrow T^{\alpha\varphi}_k|_n,\quad T^{\alpha\varphi}_k = \left[T^{\alpha\varphi}_k|_1,\,\ldots,\,T^{\alpha\varphi}_k|_N\right]. \end{aligned} Полный T-алфавит есть множество из 17-ти символов: \begin{aligned} \mathrm{T}^{\alpha\varphi}_o=\{\mathtt{T0}, \,\mathtt{T1}, \,\mathtt{T2}, \,\mathtt{T3N}, \,\mathtt{T3P}, \,\mathtt{T4N}, \,\mathtt{T4P}, \,\mathtt{T5N}, \,\mathtt{T5P}, \,\mathtt{T6S}, \,\mathtt{T6}, \,\mathtt{T6L}, \,\mathtt{T7S}, \,\mathtt{T7}, \,\mathtt{T7L}, \,\mathtt{T8N}, \,\mathtt{T8P}\}. \end{aligned} Геометрия термов \(T^{\alpha\varphi}|_n\) приведена на рисунке.
Как следует из рисунка, из множества \(\mathrm{T}^{\alpha\varphi}_o\) возможно выделить подмножество: \begin{aligned} \mathrm{T}^{\alpha\varphi}_c=\{\mathtt{T3N}, \,\mathtt{T3P}, \,\mathtt{T5N}, \,\mathtt{T5P}, \,\mathtt{T6S}, \,\mathtt{T6L}, \,\mathtt{T7S}, \,\mathtt{T7L}\}. \end{aligned}
Дополнительно к символам \(T^{\alpha\varphi}|_n\) вводятся также символы \(Q^{\alpha\varphi}|_n\): \begin{aligned} Q^{\alpha\varphi}_k|_n\equiv T^{\alpha\varphi}_k|_n\rightarrow T^{\alpha\varphi}_{k+1}|_n,\quad Q^{\alpha\varphi}_k = \left[Q^{\alpha\varphi}_k|_1,\,\ldots,\,Q^{\alpha\varphi}_k|_N\right]. \end{aligned} Все допустимые переходы составляют множество символов алфавита \(\mathrm{Q}^{\alpha\varphi}_o\ni Q^{\alpha\varphi}|_n\). Таблица допустимых переходов между символами T-алфавита приведена на рисунке. Этот полный алфавит включает в себя 107 символов.
Подмножество символов алфавита \(\mathrm{Q}^{\alpha\varphi}_o\) отвечающее алфавиту \(\mathrm{T}^{\alpha\varphi}_c\) обозначается через \(\mathrm{Q}^{\alpha\varphi}_c\).
Интерактивная диаграмма (созданная средствами CDF технологии компании Wolfram Research), позволяет наглядно увидеть принцип кодирования дискретной последовательности в Т- и Q-алфавиты.
Введём в рассмотрение ориентированный конечный граф: \begin{aligned} \Gamma^{TQ}|_n=\left\langle\mathrm{V^\Gamma}|_n,\,\mathrm{E^\Gamma}|_n\right\rangle,\quad \mathrm{V^\Gamma}|_n\subseteq\mathrm{T}^{\alpha\varphi}_o,\, \mathrm{E^\Gamma}|_n\subseteq\mathrm{Q}^{\alpha\varphi}_o, \end{aligned} у которого вершины заданы множеством \(\mathrm{V^\Gamma}|_n\), а дуги – \(\mathrm{E^\Gamma}|_n\). Граф \(\Gamma^{TQ}|_n\), по своей топологии, является связным псевдоорграфом без кратных дуг, но с петлями. Граф \(\Gamma^{TQ}|_n\) соответствующий полным алфавитам \(\mathrm{T}^{\alpha\varphi}_o\) и \(\mathrm{Q}^{\alpha\varphi}_o\) обозначим через \(\Gamma^{TQ}_o\).
Граф \(\Gamma^{TQ}|_n\) – это есть частный символический TQ-образ динамической системы по её \(n\)-й фазовой переменной. Множество графов \(\Gamma^{TQ}=\left[\Gamma^{TQ}|_1,\,\ldots,\,\Gamma^{TQ}|_N\right]\) – является полным символическим TQ-образом динамической системы.
В рамках формализма символического CTQ-анализа разработаны и активно исследуются несколько его конструктивных расширений:
TQ-бифуркации;
TQ-сложность;
T-синхронизация;
Q-предсказание;
Q-управление.
Таким образом, представляется, что форма траектории последовательности \(\{\mathbf{s}_{k}\}^\infty_{k=-\infty}\) в пространстве \(\mathrm{S}\times\mathrm{K}\) адекватно отражает (вскрывает) некие ключевые внутренние свойства порождающих динамических систем, важные с позиций вопросов идентификации, управления и предсказания её эволюции.
Дополнительно: Публикации по теме проекта.
